En un episodio de "The Big Bang Theory", Sheldon le explica a Raj el juego de Rock Paper Scissors Lizard Spock, una extensión de "Piedra, papel o tijera" que incluye dos elementos adicionales: Lizard y Spock.
Cuando le explica las reglas de quién domina a quién en el juego, lo hace de la siguiente manera:
Scissors cuts Paper,
Paper covers Rock,
Rock crushes Lizard,
Lizard poisons Spock,
Spock smashes Scissors,
Scissors decapitates Lizard,
Lizard eats Paper,
Paper disproves Spock,
Spock vaporizes Rock
and, as it always has, Rock crushes Scissors
Lo curioso de esta manera de explicar estas relación de dominación es que cuando describe la primera (las tijeras cortan al papel), la siguiente relación empieza con el segundo elemento que mencionó en la última oración. Es decir, primera relación empieza con las tijeras y termina con el papel, la segunda relación empieza con el papel y termina con la roca, entonces la tercera empieza con la roca y asi sucesivamente.
De esta manera se crea una cadena de la siguiente manera:
Scissors -> Paper -> Rock -> Lizard -> Spock -> Scissors -> Lizard -> Paper -> Spock -> Rock -> Scissors
La cadena termina donde empezó, además se cubren todas las relaciones que se pueden dar en el juego. En el juego tradicional de Piedra, Papel o Tijera también se pueden representar las relaciones en esta manera:
Tijera -> Papel -> Piedra -> Tijera
Existen en internet algunas generalizaciones con más elementos, por ejemplo:
Entonces, si añadieramos más elementos al juego, ¿siempre se podrian dar las relaciones con esta regla? La respuesta es no y depende solamente del número de elementos del juego. Si el juego tiene un número impar de elementos entonces si se puede, si es un número par, no se puede.
Este es un pequeño resultado de Teoria de Grafos, "un grafo conexo tiene un circuito euleriano si y solo si el grado de cada vértice es par". Podemos representar las relaciones del juego con este diagrama:
O de manera más abstracta con este diagrama:
Esto es lo que se llama un grafo, y el resultado de arriba nos dice que si cada punto negro tiene un número par de lineas que llegan (o salen) de él entonces si se satisface la condición de que haya un circuito Euleriano. Un circuito Euleriano es un camino que se sigue en el grafo de manera que se pase por cada arista exactamente una vez. En otras palabras, es una cadena como las que hicimos arriba.
Entonces, en resumidas cuentas, si numero de elementos es impar (como en este caso, 5) cada punto estará conectado con un número par de puntos (en este caso, 4) y entonces habrá una cadena como las que nos interesan. Si hay un número par de elementos, cada vértice o punto se unirá con otro número impar de puntos, resultando en un número impar de lineas que salen del punto y no habrá una cadena así.
El juego clásico tiene 3 elementos, Rock Paper Scissors Lizard Spock tiene 5 elementos, el otro ejemplo de arriba tiene 7, así que todos tienen la característica que buscamos.
Ahora, ¿Qué pasa con el caso donde tenemos un número par de elementos? Pues no resulta en un juego justo, pero eso será tema de otra entrada.
